В стране,где человеческий рост измеряют в футах,расстояние до соседнего города считают в милях,а топливо в бак льют галлонами,чиновники выписывают справки на бумаге формата Letter. Американский«официальный» лист короче привычного международного А4 на 18 мм. Если бы не эта разница,возможно,мы бы до сих пор не знали о флексагонах — увлекательной игрушке,головоломке и интересной математической модели,открытой в первой половине XX века.
В конце 1930-х годов англичанин Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант-математик, только начинал свою блистательную карьеру в Принстонском университете, штат Нью-Джерси. Среди прочих американских «странностей», к которым ему еще предстояло привыкнуть, был и необычный стандарт Letter. Как-то раз, обрезая листы А4 под новый формат, он принялся машинально складывать из обрезков разные фигуры. Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник — оставалось только обрезать концы по форме последней грани. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка. После каждого очередного раскрытия на свет появлялась новая поверхность, состоящая из шести треугольников, а предыдущие шесть треугольников скрывались внутри конструкции. Можно было покрасить каждую поверхность определенной краской, и тогда с каждым переворотом фигура принимала один из трех цветов.
Стоуну сразу же пришла в голову мысль, что можно сложить и более сложный шестиугольник, внутри которого прячется большее количество скрытых поверхностей. Он переспал ночь с этой идеей и убедился в правильности своей догадки, построив фигуру с шестью чередующимися поверхностями. Почувствовав, что за загадочным шестиугольником скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайант Таккерман и Джон Тьюки, которому некоторые источники приписывают авторство слова «бит» (binary digit). Будущие светила науки собирались вместе в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, которые им удавалось собрать.
1. Чтобы раскрыть флексагон, сожмите два соседних треугольника, прижмите к ним противоположный край и раскройте фигуру из центра. 2. Чтобы пройти по «пути Таккермана», раскрывайте фигуру, держась за один угол, пока она будет раскрываться. Затем последовательно переходите к следующему углу.
Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского flex — сгибать). Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагонов. Еще одна численная приставка означала порядок флексагона, то есть число чередующихся поверхностей. В частности, первая созданная Артуром фигура оказалась тригексафлексагоном, а конструкция с шестью поверхностями — гексагексафлексагоном. Стоун, Таккерман, Фейнман и Тьюки в шутку окрестили себя «Флексагонным комитетом» и всерьез взялись за изучение математических основ «флексологии». К 1940 году Фейнманом и Тьюки была разработана всеобъемлющая теория флексагонов, которая позволяла построить флексагон с любым числом сторон и поверхностей всеми возможными способами. Полностью сей труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были открыты другими учеными.
ТритетрафлексагонСамый первый флексагон с тремя поверхностями, изобретенный Артуром Стоуном, складывается из прямой полоски бумаги, поделенной на 10 равносторонних треугольников (один служит для склейки).
Строптивый калейдоскоп
Классический гексагексафлексагон можно сложить из прямой полоски бумаги. Полосу следует разметить на 19 равносторонних треугольников. Треугольники можно пометить цифрами с двух сторон в порядке, указанном на рисунке. Пустой треугольник на каждой стороне служит для склейки. Полоска складывается таким образом, чтобы треугольники с одинаковыми цифрами на оборотной стороне накладывались друг на друга. Получившуюся короткую полоску перегибают в трех местах так, чтобы получился шестиугольник (точно так же складывают из ленты простейший тригексафлексагон). Оставшийся не у дел треугольник, помеченный цифрой 1, перегибается через грань и приклеивается к пустому треугольнику. Флексагон готов.
Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольников. Чтобы раскрыть флексагон, необходимо взять его двумя пальцами за пару соседних треугольников и сложить их по линии сгиба. Второй рукой нужно отогнуть противоположную пару треугольников. Флексагон явит миру свою новую поверхность и спрячет предыдущую. Играя с фигурой, вы вскоре обнаружите, что некоторые поверхности гораздо труднее вызволить на свободу, нежели остальные. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу, натыкаясь лишь на знакомую пару «лиц» флексагона. Брайант Таккерман вывел простейший способ нахождения всех поверхностей фигуры, известный как «путь Таккермана». Простое правило позволяет увидеть все поверхности гексагексафлексагона всего за 12 раскрытий. Следует брать флексагон за один и тот же угол и открывать его, пока он открывается. Затем можно переходить к следующему углу по порядку.
ТетрафлексагонСтоуну и компании удалось создать полную и всеобъемлющую теорию гексафлексагонов. Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства — тритетрафлексагон — можно легко сложить из полосы бумаги, состоящей из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару «двоек» — и флексагон готов. Кстати, изобретение этой фигуры принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как шарнирное соединение двойного действия — петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из его поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других. На этом свойстве основан старый фокус с «исчезающим» в недрах конструкции долларом. Рецепт тетрафлексагона: Темный цвет обозначает лицевую сторону выкройки, светлый — обратную. Крайние квадраты склеиваются полоской скотча.
Многообразие проявлений гексагексафлексагона вовсе не ограничивается шестью цветами или шестью цифрами, обозначающими поверхности. Если нанести на треугольники более замысловатую раскраску, можно увидеть, что каждый из них может менять ориентацию внутри своей поверхности. Пометим углы каждого треугольника буквами A, B и C и проследуем по «пути Таккермана». Мы увидим, как в центре одного и того же шестиугольника по очереди побывает каждая из букв. Это дает нам по три варианта каждой поверхности. Итого для гексагексафлексагона мы имеем целых 18 вариантов рисунка поверхности.
На самом деле для гексагексафлексагона, собранного из прямой полосы бумаги (возможны и другие конструкции), число вариаций окажется несколько меньше. Складывая флексагон, вы можете заметить, что четыре из его поверхностей состоят из шести треугольников, а еще две — из трех параллелограммов. Эти последние поверхности не могут меняться и всегда выглядят одинаково, что в итоге дает нам всего 15 комбинаций для гексагексафлексагона. Данное свойство многократно использовали шутники-математики для своих головоломок с картинками. Скажем, после определенных стараний игрок мог собрать четыре картинки, развернув составляющие их треугольники в определенную сторону, а еще одна картинка, самая желанная (к примеру, фотография очаровательной девушки в бикини), никак не собиралась воедино, хотя все ее соблазнительные компоненты были отчетливо видны.
Есть у гексафлексагона и еще один секрет: три из шести его поверхностей могут образовывать зеркально симметричные пары. К примеру, если угол А одного из треугольников такой поверхности находится в центре, то угол B может оказаться как справа, так и слева от него. Таким образом мы получаем еще три дополнительные комбинации и общее число рисунков поверхности гексагексафлексагона все же достигает 18.
ФлексокалейдоскопТреугольники в сторонах гексагексафлексагона могут поворачиваться к центру любым из трех углов. В сумме это дает 18 вариантов картинки.
Флексоконструктор
«Флексагонный комитет» очень быстро обнаружил способ делать из прямых или зигзагообразных полос бумаги флексагоны с любым количеством поверхностей. Таккерман сконструировал тетрагексафлексагон и пентагексафлексагон, а также ухитрился соорудить действующую модель флексагона с 48 поверхностями. Большинство флексагонов можно сложить разными способами из заготовок разной формы. К примеру, гексагексафлексагон можно сделать из прямой полоски бумаги, ленты, предварительно склеенной в форме шестиугольника, и причудливой ленты в форме восьмерки. С ростом порядка флексагона радикально увеличивается и количество способов, которыми его можно собрать. К примеру, для декафлексагона их число равняется 82. Теория Фейнмана и Тьюки позволяет сконструировать флексагон любого заданного порядка всеми возможными способами. Известно, что все флексагоны четного порядка делаются из двусторонних полос, а нечетные имеют лишь одну поверхность, подобно ленте Мёбиуса.
Не вдаваясь в теоретические подробности, приведем алгоритм конструирования флексагона с заданным числом поверхностей. Для составления карты флексагона нам понадобятся базовые конструктивные элементы — большие равносторонние треугольники со вписанными в них малыми равносторонними треугольниками (см. схему). Количество необходимых базовых элементов равняется порядку флексагона минус два. К примеру, для конструирования гексагексафлексагона нам понадобятся четыре элемента.
Гексагексатрансформер
Гексагексатрансформер
Расположим базовые элементы любым способом так, чтобы их грани совпали, а вершины внутренних треугольников соединились. Различное расположение элементов даст нам разные варианты конструкции флексагона, но все они будут рабочими. Получившаяся фигура называется сетью Тьюки. У нее шесть граней, на каждой из них имеется «средняя точка». Обозначим одну из серединных точек цифрой 1 и пронумеруем все серединные точки по часовой стрелке. Теперь, если следовать от единицы по маршруту, проложенному сторонами внутренних треугольников, мы получим «код флексагона»: 1, 2, 6, 4, 3, 5.
Нарисуем таблицу из трех строк и восьми столбцов (восемь — порядок флексагона плюс два). Внесем в нее получившийся код, проставляя цифры по очереди в верхнюю или среднюю строку, в шахматном порядке. Под (или над) каждой цифрой проставьте число, большее на единицу. Если исходная цифра равна 6, ставьте 1. Получившаяся таблица представляет собой не что иное, как разметку треугольников будущей бумажной полоски. Первая строка содержит разметку лицевой стороны, вторая строка — обратной. Последовательность из шести пар цифр должна повториться три раза — для всех 18 треугольников гексафлексагона. Вспомогательные столбцы (7 и 8) показывают, как будет повторяться последовательность цифр: для флексагона нечетного порядка стороны поменяются местами.
Конструируем флексагонШаг 1. Чертим «строительные блоки» в количестве, на два меньшем, чем число поверхностей флексагона. Шаг 2. Совмещаем блоки и строим «карту флексагона». Шаг 3. Руководствуясь «картой», составляем полосу, из которой будет складываться флексагон.
Выберем одну из граней сети Тьюки и обозначим ее как «правая». Точно так же пометим все параллельные ей грани (в нашем случае такая всего одна). Остальные грани обозначим как «левые». Заполним получившимися значениями третью строку в таблице. Теперь мы готовы размечать бумажную полосу для постройки флексогона. Начнем с первого треугольника, вершина которого укажет нам путь «прямо». Руководствуясь картой, следующий треугольник мы будем пристраивать к его правой или левой стороне. Пройдя весь путь до конца, мы получим полосу в форме шестиугольника — одну из вышеупомянутых допустимых заготовок для гексагексафлексагона. Остается обозначить все треугольники цифрами с двух сторон, опять же в соответствии с таблицей. Складывая флексагон, начните с совмещения одинаковых цифр, стоящих рядом на обратной стороне заготовки. Следуйте этому принципу, пока не получите готовый гексагексафлексагон.
След в истории
7 декабря 1941 года японцы ворвались в Перл-Харбор, и война разбросала участников «Флексагонного комитета» по свету. Впоследствии Артур Стоун приобрел всемирную известность как специалист в области топологии и автор теоремы метризации, названной в его честь. Джон Тьюки получил титул магистра химии и докторскую степень по математике. Он изобрел несколько основополагающих методов современной статистики. Брайант Таккерман оставил значительный след в информатике как один из соавторов симметричного алгоритма защиты информации, в котором один ключ используется как для шифрования, так и для расшифровки данных. А Ричард Фейнман и вовсе не нуждается в представлении как обладатель премии Альберта Эйнштейна и Нобелевской премии в области физики. Долгие годы эти блестящие ученые хотели вновь собраться вместе, чтобы написать пару статей и покончить со всеми тайнами теории флексагонов. К сожалению, или, напротив, к счастью, этому плану не суждено было сбыться.
